ポアンカレ予想とペレリマン関連の本、解釈の違い。

ポアンカレ予想・100年の格闘 ~数学者はキノコ狩りの夢を見る~ [DVD] (2010/05/28) ドキュメンタリー 商品詳細を見る

長年にわたってどんな数学者も解くことができなかったポアンカレ予想をついに解いたのはグレゴリ・ペレリマン。話題性があるだけにいろんな本やテレビ番組が出てきた。個人的には数学にそれほど詳しくないので、本やテレビの分かりやすい解説から、ポアンカレ予想とはどういうものか、ペレリマンとはどういう人物で、なぜフィールズ賞などを辞退し、どうして現在はロシアで人と関わらないで生活しているかなどの情報を知った。

最初に見たのが上の「ポアンカレ予想・100年の格闘 ~数学者はキノコ狩りの夢を見る~」だった。この番組ではペレリマン以前にポアンカレ予想に取り組んだ数学者の話に多くの時間が割かれていた。そういった数学者の多くの人はポアンカレ予想を解こうと数学にのめり込むあまり心を病んでしまったという。最終的にポアンカレ予想を証明したペレリマンもまた心を病んでしまい、そのことがロシアで人と関わらなくなった原因だという流れになっている。
さらに番組中で、ペレリマンがアメリカに行ってポアンカレ予想をいかに解いたかを学会で発表する場面がある。その学会を聴講した他の数学者たちはペレリマンの取った方法に驚いたという。なぜならポアンカレ予想はトポロジーという数学分野の問題であるのに、ペレリマンは微分幾何学を使って説いたからだ、と番組では説明されている。

でも類書の「完全なる証明」と「ポアンカレ予想―世紀の謎を掛けた数学者、解き明かした数学者」を読むと、ペレリマンが人との関係を閉ざした理由ははっきりしていて、本人の証言もあるようだ。どうやらペレリマンがポアンカレ予想を証明した後に起こった世間のさまざまな反応、特に数学界においてペレリマンが不道徳だと感じた出来事が多かったことから数学界に失望したらしい。
たとえばハミルトンのリッチフローという手法を拡張したことが、ポアンカレ予想の証明の具体的な内容だが、ハミルトン本人はペレリマンに先を越された悔しさからか、あまりペレリマンの講演に出席したり質問したりせずにいたらしい。このことがペレリマンからすると不誠実に映ったようだ。もっというと中国人の朱熹平と曹懐東がペレリマンの功績を横取りするかたちで自分たちがポアンカレ予想を証明したと語るなど、スキャンダルも多かった。こういったこともペレリマンが数学界に失望した理由かもしれない。

完全なる証明―100万ドルを拒否した天才数学者 (文春文庫) (2012/04/10) マーシャ ガッセン 商品詳細を見る

ポアンカレ予想―世紀の謎を掛けた数学者、解き明かした数学者 (ハヤカワ文庫 NF 373 〈数理を愉しむ〉シリーズ) (2011/04/30) ジョージ G.スピーロ 商品詳細を見る

また 「ポアンカレ予想―世紀の謎を掛けた数学者、解き明かした数学者」を読んでみると、ペレリマン以前から、ハミルトンがリッチフローという微分方程式や熱という考え方をトポロジーに応用している。ペレリマンの仕事はそのリッチフローの方法のうち、葉巻型と呼ばれる形がトポロジーに応用できてないという欠点を克服したりしてハミルトンの路線を完成させたことにあるようだ。もしそうなら、NHKの番組で、微分幾何学をトポロジーに応用したことがペレリマンの革新的なところであったというのはミスリードなのかな、と思った。ちなみにエントロピーという物理学の考え方を取り入れたのはたしかにペレリマンの斬新な点ではあるみたいだけど。

生命科学研究者応援ソング

・Ph.Diddy登場！



・Ph.Diva と謎のバンド

簡単に生命を作り出す、コンウェイのライフゲーム

数学でみた生命と進化―生き残りゲームの勝者たち (ブルーバックス (B-1111)) (1996/03) カール・シグムンド 商品詳細を見る

最近、カール・シグムンド (著)『数学でみた生命と進化』の古本を買って読んだ。1996年に初版が出たらしく古い内容だけど、それゆえにこの時期の進化学がどうなっていたか分かる。特にコンピュータを使ったシミュレーションは現在から見るとかなり初歩的に見える。
この本では生命のシミュレーションとして、コンウェイの「ライフゲーム」が紹介されていた。これはまだパーソナルコンピュータもそこまで普及していない時代で、仕事そっちのけでエンジニアやオフィスワーカーがハマっていたというゲーム。ルールは、白いセルの周辺に３つの黒いセルがあるとそのセルも黒くなり、黒くなったセルは周辺に２つか３つの黒いセルがあると黒いまま、それ以外だとふたたび白に戻る。
メカニズムは単純だけども、複雑系の要素としての正のフィードバックと負のフィードバックの相互作用によってどんどんドットの形が変化する。初期状態のほんの少しの変化が結果に大きく影響を及ぼすという意味でカオスでもある。実際にやってみると、単に直線を描いただけでも、結果としてとても複雑な動きや幾何学模様などが見えてくる。さらに左右非対称にしてみるとさらに複雑さが増す。

その動きは確かに生命に見えなくもないが、『自己組織化の経済学―経済秩序はいかに創発するか』 ポール・クルーグマン （著） の覚え書きの記事で取り上げた空間経済学のビジュアル版にも見える。ただしクルーグマンの言う都市集積は、あまり初期条件に依存しないでどのように初めても同じような形状に収束していったけど。

wikipediaによると、このライフゲームでも動きが変化しながらも周期的に同じ形を繰り返す形が発見されている。特に周期が3ステップ以上で複雑な形では以下のものがある。

パルサー	八角形	銀河	ペンタデカストロン

さらに「生きたセルの数が無限に増えつづけるパターンはありうるか」という証明を、開発者のコンウェイ自身が懸賞金を賭けて一般に募集したところ、下のようなグライダー銃などがその一例であることが分かったという。

いずれにしても暇つぶしにもなるし、見ていて飽きないこのゲーム。個人的には少ないブロック数を少しずつ変えていってどう結果が変化するのかを見るのがおもしろい。

そのままスタートするとグライダー銃となります。いったんクリアを押して自分でいろんな形を作りスタートを押すと、それが動き出します。

遊べるライフゲーム。 - jsdo.it - share JavaScript, HTML5 and CSS

切りたい場所のDNAを切れるオーダーメイドのハサミ、gene editing（ジーン・エディティング）

・ある遺伝子を取り除いたり他の生き物の遺伝子を組み込むためにはDNAを切り貼りする酵素が必要です。DNAを切り取るハサミとしてよく使われるのは制限酵素です。でも制限酵素は基本的に回文構造になっているDNA配列の部分しか認識してくれません。回文はたとえば「しんぶんし」や「たけやぶやけた」みたいに前から読んでも後ろから読んでも同じになるような文です。
制限酵素でDNAを切りたいとき、ちょうど切り取りたい場所に回文配列があればいいのですが、実際にはその場所が少なすぎたり多すぎたり、また仕方ないので余分な部分を残したまま切断するしかなかったりします。

ではオーダーメイドのように狙った場所できちんと切断できるものはないのかな、と思ってたらそれがあります。

・「gene editing（ジーン・エディティング）」という方法は、いままでの制限酵素ではなくzincフィンガーヌクレアーゼ（ZFNs）などを使います。このzincフィンガーはいくつかのDNA配列を一組でとして認識してくっつく性質があるので、zincフィンガータンパク質をつなげて狙ったDNA配列だけにくっつくようにすれば、あとはその場所を切断できます。
zincフィンガーヌクレアーゼを使ったジーン・エディティングは2011年の時点でヒトのHIV患者の臨床にも使われています。患者のCD4+ T細胞を取り出して、その細胞に入っているHIV感染の要因を作るCCR5遺伝子を壊し、再びT細胞を患者の体に戻すと6人中5人で免疫機能が上昇したそうです。
しかしzincフィンガータンパク質はちゃんとDNAにくっつくようにするのが難しかったり欠点もあるとのこと。

・そこで新しい酵素としてtalens(transcription activator like effector nucleases)を使う方法が考えられています。この酵素はzincフィンガーと違ってDNAの配列を一ずつ認識でき、酵素同士をつなげた場合でも相互作用が少ない。だから文字どおりオーダーメイドで思った通りの配列を認識できるハサミが作れることになります。ただし現状では酵素を作るのが難しかったりするみたいですが。

・いずれにしても既製品としての制限酵素の役割が、すぐにジーン・エディティングに完全にとって変わられることはないでしょう。いちいちオーダーメイドで酵素を作成するよりは、DNA配列を調べてそれに合う制限酵素を冷凍庫から取り出した方が楽だからです。ですが服と同じようにニッチの要求に応えるためにはオーダーメイドはなくてはならない手段ですから、今後に期待です。

参考ウェブサイト：Targeted gene editing enters clinic

光から見た不確定性原理

ハイゼンベルグの不確定性原理は有名です。自分自身おおざっぱな説明として、運動量と位置の両方を正確に知ることができないという原理だと聞いています。式で書くと「Δx・Δp = 1/2ℏ」となります。
最近ブルーバックスの『高校数学で分かるシュレディンガー方程式』を読んでいたら、不確定性原理の他のやり方での説明がありました。
パルスというものは一瞬だけピッと立ち上がる波で、これが光の波だったりする場合、その時間が短ければ短いほど短い時間を測定することができるようになります。しかしこのパルス、数学的にどのように作るかというといろいろな波長の波を重ね合わせる必要があるらしいのです。波のエネルギーの幅を持ったものであればあるほどパルスの時間は短くなる。
ということは、パルスのような波の時間の短さとエネルギーの幅は相反する関係にあるということになります。
結局エネルギーの幅をΔE、パルスの時間をΔtとすると、上の不確定性原理に似た式「ΔE・Δt ≒ ℏ」のようになるようです。
ほぼ本からの引用ですが、これは光の波長から見た不確定性原理と言えそうですが、こちらの方が理解しやすいように思えます。

『自己組織化の経済学―経済秩序はいかに創発するか』 ポール・クルーグマン （著） の覚え書き

自己組織化の経済学―経済秩序はいかに創発するか (ちくま学芸文庫) (2009/11/10) ポール クルーグマン 商品詳細を見る

・『自己組織化の経済学』は、空間経済学や新しい貿易理論などの業績でノーベル経済学賞を受賞したクルーグマン自身が万人向けに書いた、経済学における複雑系の本です。複雑系と言っても取り上げられるのは空間経済学あるいは都市経済学が主です。つまり都市というものがいかに形成されるか、都市の大きさに関する経験的なデータをどのようにモデルで説明するかなどです。ここで取り上げられている理論について、覚え書きをしたいと思います。

・複雑系とはどのようなものか。1.正と負のフィードバックの絡み合う 2.創発する 3.自己組織化する ものであり、これらは互いに関連している。
1.収穫逓減のような負のフィードバックによって支配されているという仮定のもとでは一般均衡理論のように収束するが、収穫逓増のように正のフィードバックでは独占を生むし、逓減と逓増の相互作用があればもっと複雑な動きをする。
2.そのような複雑な動きがある閾値に達すると、突如として新しい性質が創発される。大きな見方をするならば、ある経済理論が成功したと言えるのは、ある程度常識的な仮定と推論からいままで思いもしなかったような結果が創発されること、と言えるかも知れない。
3.それぞれの個人が自己の利益拡大を考えて市場に参加するだけで、見えざる手によって効率が最大になるという経済学での古典的な説明は、言い方を変えると自己組織化であり、そういったバラバラに見えるものがいかに秩序を形作るかということを、経済学の複雑系研究でも行われる。

・ではどのような空間経済学・都市経済学の理論があるのか。
フォン・チューネンモデルでは、中心にある街にさまざまな農作物を売る農民のことを考えたとき、街に近ければ輸送費は少ないが土地代が高くなるとする。輸送費と生産高の関係によって、作物ごとに街を中心にして同心円状に農地が広がることになる。これは市場競争による創発と言えるかも知れないが、街の存在をあらかじめ仮定しているので、なぜ都市が形成されるかと言った疑問に答えることができず、都市経済学としては弱点がある。

中心地理論では、均等に散らばった農村に対して、企業が取引をする。企業は規模の経済性が働き集積していくが、そうなると農村への距離から輸送費用がかさむようになる。このような状況では中心地が格子状で均等に分布する。しかしどのような動因でどのようにこのような秩序になるかはこの理論では説明できていないという。しかし本の後半では、これもモデルの内生的な動きによって説明しようとしている。

シェリングの分離モデルは、黒人と白人のような2種類の人々が当初、土地の中を均等でばらばらに混ざり合って住んでいたとして、自分が白人として近隣の中でマイノリティーじゃなければ住居を変える必要はないといった、そこまで積極的な人種差別意識がなかったとしても、結果的には白人と黒人の２つの住居地帯に分離されるというもの。

エッジ・シティーモデルでは、企業同士が求心力と遠心力という正と負の関係を持ち合わせていて、求心力の方が遠心力より近い距離で強く働くとする。これはショッピングモールのようにとても近い場所で店を構えるならお互いの利益になるが、中途半端に離れていたりするとライバル同士になるといった例に見立てることができる。この場合、他の企業がどう立地しているかが、企業の立地の良し悪しとなり、正と負のフィードバックが絡み合う。初期の企業の立地をほぼ均等にしてコンピュータでシミュレーションすると、時間が先に行くほどある2つの山が出来てきて、ついにはただ２つの立地にすべての企業が集積する。なぜある２つの立地になるかは初期のころの企業集積のゆらぎによって決まる。ゆらぎを波の合成のパラメーターとすると、その波の周波数が2なら最終的な立地が2つ、4なら4つとなる。しかし企業の期待形成などの要素をモデルに含んでいないなどの欠点がある。

経験的なデータとして、都市の大きさの順位と都市の人口を対数でグラフにすると、ほぼ綺麗に反比例する。つまり全国で2番目に大きい都市は1番目に大きい都市の半分の人口を持つ。このように順位が下がるごとに人口がどんどん小さくなっていく。これは経済学では珍しいほどきれいな関係で、ジップ法則という。実はこのような関係は、ある大きさ以上の隕石落下確率や地震規模と頻度など他の事例でも見ることができる。これらは規模とは無関係なランダムな成長が起こるものによく見られるという。
経済学では一種の仮説としてサイモンのストーリーがある。ある集団と群があったとき、群は一定の確率で集団に加わるか他の場所で新しい都市を作るとする。さらに集団が大きいほど群が加わる確率が高くなる。群を起業家と見なすことも出来る。このとき、コンピュータのシミュレーションによるとジップ法則に似たグラフが得られるという。

※また、今日見た名古屋大学の記事では、サッカーの試合において、パスをした人とパスの回数の関係がジップ法則と同じベキ則に従っていて、しかもそのパスネットワークの中心となるハブが時間によって変化していくらしいです。ジップ法則はネットワークのハブとも関係するんですね。

モーペルテュイの最小作用教 最小作用の原理と最善世界

数学は最善世界の夢を見るか?――最小作用の原理から最適化理論へ (2009/12/18) イーヴァル・エクランド 商品詳細を見る

・『数学は最善世界の夢を見るか』イーヴァル・エクエンド（著）では、モーペルテュイという人物をハイライトにしてニュートン力学から解析力学、カオスや量子力学など近代物理学の歩みを描いていました。
モーペルテュイという名前は初めて見ました。18世紀の有名なライプニッツやヴォルテールと同時代に生きていて、ニュートン力学とデカルト力学の論争（地球が南北に長いのか東西に長いのか）を確かめるために北極まで探検をしたそうです。彼の身分はベルリン科学アカデミーの院長というとても高いものでしたが、性格は謙虚さに欠け、敵も多い人だったようです。

このモーペルテュイですが、光は最小時間でたどり着ける経路を通るというフェルマーの原理に触発されて、最小作用の原理が世界を支配していると考えます。つまり神は世界のあらゆるものの作用を最小にする、言い換えると最善となるように導いているというものです。いわば最小作用教とも言える着想です。この考え方は当時の人からも反発が大きかったようです。特に激しく攻撃したのがヴォルテールで、彼が書いた文書にはあらゆるレトリックを使ってモーペルテュイを皮肉っています。結果モーペルテュイは大言壮語の男として笑いものにされます。

・話はこれで終わったかに見えますが、彼の考えた普遍的な法則としての最小作用の原理の考え方は、形を変えながらも後のオイラー、ラグランジュ、ポアンカレ、さらには量子力学のファインマンにまで引き継がれます。もちろん彼の考えた神による最善世界の導きは否定されています。たとえば最小作用が谷だとしたら、光や物体が通る経路は谷だけでなく峠のような中間にある踊り場になることもあります。これを停留点と呼ぶと、結局は最小作用というものは普遍的なものではなく、エネルギー的に留まるところがあればいいわけです。このことによって最小作用＝最善というモーペルテュイの考えは大きなダメージを受け捨て去られます。

この議論は、経済学の成長理論に何か似てる気がします。経済が恒常成長する条件として、貯蓄性向sと資本係数vの比がちょうど労働力の成長率nと同じでなければいけない（s/v=n）という条件が導き出されるのですが、これらは相互に連関のないものとして扱われています。この一致は黄金率と言われ、偶然や奇跡以外には実現が不可能に見えます。しかしモデルを組み直して何かの調節メカニズムによって黄金律へ近づくという説明ができれば、この奇跡のような黄金率は奇跡でもなんでもないことが分かります。
いわばモーペルテュイはこういったモデルの再考やモデルの適用範囲の検討をあまりせずに、得られた結果から奇跡の存在を簡単に信じてしまったと言うことができると思います。

とは言え、『数学は最善世界の夢を見るか』では、モーペルテュイという人物の卑小さにスポットを当てながらも、近代科学の原理を着想した人としての評価は保持します。このミスマッチがおもしろかったです。